微积分就一句俗话：一个油饼的面积等于一根油条的高

相信不少人都曾经为了学微积分大伤过脑筋，或者觉得微积分太难了。也许微积分并没有那么难，很有可能是你把它想得太复杂了。

中国科学院院士、“微积分爷爷”林群在一次公开演讲时曾将微积分打过这样一个形象的比喻——一个油饼的面积等于一根油条的高（以下简称比喻）。

油饼油条我们每个人都吃过很多，但你是否曾经将油饼油条与微积分联系起来呢？

所以，学微积分的关键在于思考，当将油饼油条与微积分联系起来时，则别开生面。

说到这里，或许会有人说这简直有点太“民科”了，与“高大上”的微积分似乎不太相称。但不要紧，数学是看结果的，正所谓“条条大道通罗马”，不管你用什么方法，只要你能证明你所讲的是对的就行，并且是越简单、越能被大众接受的就越好。

因此，站在数学的立场，没有所谓的标准，也没有所谓权威；相反，标准与权威有时反而会成为“限制”，不利于我们发挥与创新。在数学的世界里，一切标准与权威都可以归结为两个字——证明。不管你是“民科”还是专科，都在这个范围之内。

所以笔者是十分赞同“微积分爷爷”打的比喻的。那么问题的关键是我们该如何理解它。

如下，就让我们围绕标题，展开来谈一谈如何理解“微积分爷爷”打的比喻。

第一：

我们可以将一根油条围成一个圆，那么一根油条不就相当于一个油饼了吗？所以说一个油饼的面积等于一根油条。这是理解比喻的关键。

第二：

我们可以想象一下，油条象什么？我们说，油条很像一根棍棒。

《庄子》里说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”所谓“一尺之锤”，也就是一根一尺长的棍棒的意思。

那么，第一“日取其半”就是1/2，第二日1/4，第三日1/8，第四日1/16，第五日1/32......如此“日取其半”下去，永远也取不完，永远也计算不完。则有下图表：

反过来说，每天把前面的“日取其半”加起来，到第四天小数点后就出现了一个9，第七天小数点后就出现了两个9，第十天小数点后就出现了三个9......如此下去，最后就会有很多9，接近还原于“1”。

而上图表的“日取其半”是微分，每天把前面的“取”量加起来是积分，这正是微积分的基本原理。

因为油条象一根棍棒，如果我们将一根油条理解为《庄子》里的“一尺之锤”，那么我们就可以说上图表里的“日取其半”的方法同样适用于油条与油饼，并且在本质上并没有什么区别。

第三：

如果我们再将油条想象成一根线段，油饼想象成一个圆，就像“一个油饼的面积等于一根油条”一样，用这根线段围成一个圆，那么比喻里的油条与油饼的关系就演变成了一根线段与一个圆的关系（下图）。

我们知道，一个圆的圆周长= 2πr，圆面积 =πr^2，r为半径。那么同一个圆的圆周长与圆的面积之比就是2πr/πr^2=2/r，也就是说只要求出圆的周长就可以求出圆的面积。

当圆的周长拉直时，它就是一根线段，围起来的时候就是一个圆，就像一根油条与一个油饼的关系一样。因此，我们就可以说，在同一个圆的圆周长与圆的面积之间存在的2/r关系下，同一个圆的圆周长能够反映或代表圆的面积。

但站在数学的立场，一切都必须得到证明。由于同一个圆的圆周长与圆面积之比为2πr/πr^2=2/r已经得到广泛证明，那么在这样的关系下，谁也不能说同一个圆的圆周长不能反映或代表圆的面积。所以换作比喻里的说法就是一个油饼的面积“等于”一根油条的长或高。

第四：

当我们把一根油条理解成一根线段或棍棒时，这根棍棒就像孙悟空手中的金箍棒，想怎么变就怎么变，不但可以围成一个圆，也可以表现为各种曲线，这些变化的曲线就犹如各种方程式在坐标系上的具体反映。

那么，为什么在比喻里说“一个油饼的面积等于一根油条的高”而不说“长”呢？因为在微积分里，常常将曲线下分成若干矩形的方法来求面积，所以在实际应用中就常常变成了曲线求高的问题。

因此，“微积分爷爷”又曾把微积分总结成一个口诀——一条曲线下的面积等于另一条曲线的高。关于这个口诀的问题，笔者已经写过一篇名为《虐你千万遍的微积分就一口诀：一条曲线下的面积=另一条曲线的高》的文章，这里就不再赘述了。

笔者认为，“微积分爷爷”把微积分比喻为“一个油饼的面积等于一根油条的高”，不但很形象，而且具有通俗易懂的特点，如果你也能理解这句话，大概可以称得上入门了吧。

你看，把微积分比喻为“一个油饼的面积等于一根油条的高”，是不是很容易理解呢？

作者：然好

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